题目

Problem

The random variable $X$ has a continuous uniform distribution over the interval $[-k, 5k]$ where $k > 0$

(a) Find, in terms of $k$ , the probability density function of $X$ for all values of $x$

(2)

(b) Sketch the graph of the probability density function of $X$

(2)

(1)

(d) Find, in terms of $k$ , the cumulative distribution function of $X$ for all values of $x$

(4)

The random variable $Y$ is defined by $Y = X^2$

(e) Find $E(Y)$ in terms of $k$

(3)

(f) Find the exact probability that $Y < 2k^2$ . Show your working clearly.

(3)

(Total for Question 3 is 15 marks)

题目中文翻译

随机变量 $X$ 在区间 $[-k, 5k]$ 上连续均匀分布，其中 $k > 0$ 。

(a) 用 $k$ 表示 $X$ 对所有 $x$ 值的概率密度函数。

(b) 画出 $X$ 的概率密度函数图像。

(d) 用 $k$ 表示 $X$ 对所有 $x$ 值的累积分布函数。

随机变量 $Y$ 定义为 $Y = X^2$ 。

(e) 用 $k$ 表示 $E(Y)$ 。

(f) 求 $Y < 2k^2$ 的精确概率。清楚地展示你的计算过程。

（第 3 题共 15 分）

IAL 2025 Jan S2 Q3