题目
A population has an unknown mean μ and an unknown variance σ^2.
A random sample represented by X1, X2, …, X20 is taken from the population.
(a) Explain why 1/2 X1 + 3/4 X20 is a statistic.
(b) Show that R = 1/2 X1 + 3/4 X20 is a biased estimator of μ.
(c) Hence find the bias, in terms of μ, when R is used as an estimator of μ.
Given that S = (aX1 - bX2)/2 and T = (a ∑{i=1}^{14} Xi + b ∑{i=15}^{20} Xi) / 20 are each used as an unbiased estimator of μ, where a and b are constants,
(d) find the value of a and the value of b.
题目中文翻译
某总体的均值为未知的 μ，方差为未知的 σ^2。
从该总体中抽取一个随机样本 X1, X2, …, X20。
(a) 说明为什么 1/2 X1 + 3/4 X20 是一个统计量。
(b) 证明 R = 1/2 X1 + 3/4 X20 是 μ 的有偏估计量。
(c) 因而求 R 作为 μ 的估计量时的偏差，用 μ 表示。
已知 S = (aX1 - bX2)/2 和 T = (a ∑{i=1}^{14} Xi + b ∑{i=15}^{20} Xi) / 20 都可作为 μ 的无偏估计量，其中 a 和 b 为常数。
(d) 求 a 和 b 的值。